Число е (число Эйлера). Экспонента

Как легко запомнить год рождения Льва Толстого? Вспоминаем первые десять цифр числа е = 2,718281828… Там год его рождения повторяется дважды. 1828 1828. Видимо, специально, чтобы каждый знал, когда родился Великий русский писатель!

Ну а если вы вдруг позабыли, чему равны углы в прямоугольном равнобедренном треугольнике, не проблема. Сразу после дважды Толстого в числе е идет 459045.

Для забывчивых юристов далее спрятался номер статьи из ук Рф «Незаконное осуществление медицинской деятельности или фармацевтической деятельности», в общем, 235 статья.

Сколько градусов в окружности? Смотрим после 235 статьи и видим 360.

Так можно продолжать до бесконечности. Почему? Потому что число е, как и число Пи, иррациональное. Бесконечная, не периодическая, десятичная дробь. Так что в числе е есть не только год рождения Толстого, но и день месяц, и вся война и мир в цифровом виде.

Два миллиона цифр после запятой в числе e. Для оооооооооооооооооочень точных вычислений!!

Что же такое число е и откуда оно взялось?

Кто-то спросит: «Что же это за число такое удивительное?» И здесь всего три слова: “второй замечательный предел”. На языке математики это выглядит следующим образом:

$e=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$

Расходимся…

Появление числа е связывают с Якобом Бернулли, который еще в 17 веке задался вопросом: какова же максимальная величина процентного дохода при постоянной капитализации вклада?

Якоб Бернулли Число е — Якоб Бернулли (1654-1705)

Чтобы было понятно о чем идет речь, давайте представим, что у меня есть рубль. Я кладу его в банк под 100% годовых. То есть, через год у меня уже не рубль, а два.

$1+1=2$

Но что если рост происходит не мгновенно в конце года, а частями? Ну скажем, каждые полгода по 50%. Да, наш рубль так же превратится в два, но на 50 копеек, которые набежали за первые полгода, за вторую половину года набежит уже свой процент. И мы получим еще 25 копеек дополнительно. И в итоге мы имеем уже 2 рубля 25 копеек.

$1+\frac{1}{2}+\frac{ 1+\frac{1}{2}}{2}=\left( 1+\frac{1}{2} \right)\cdot\left( 1+\frac{1}{2} \right)=\left( 1+\frac{1}{2} \right)^2=2{,}25$

Если рост вклада будет происходить каждые четыре месяца, то есть 3 раза в год, дополнительный процент к нашим двум рублям, составит уже 37 копеек.

$\left( 1+\frac{1}{3} \right)^3\approx 2{,}37$

При ежемесячном росте только на процентах у нас набежит примерно 61 копейка.

$\left( 1+\frac{1}{12} \right)^12\approx 2{,}613$

И здесь возникает вопрос: а что если рост будет происходить непрерывно? Как в природе. К примеру, дети не вырастают на 15 сантиметров в свой день рождения. Нет. Они растут в течении всего года. Каждый день, каждый час, каждую секунду… Что если так же будет расти наш вклад, и вместе с ним будут увеличиваться начисления по проценту?

Существует ли какой то предел при непрерывном росте, который позволит понять, на какую максимальную прибыль мы можем рассчитывать?

$\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=???$

Сам Бернулли определил, что это где-то между 2,5 и 3.

Леонард Эйлер (15 апреля 1707 – 18 сентября 1783) — Леонард Эйлер (1707 – 1783)

Более точно этот предел вычислил Леонард Эйлер, а полученное число, к которому этот предел стремится, назвал числом е.

По одной из версий е — это первая буква в фамилии ученого (Euler). Но это не точно. Вполне возможно, что е это просто первая буква в слове«экспоненциальный» (exponential). Что тоже кажется тоже вполне разумным, так как экспонента, наверно, первая ассоциация при упоминании числа е. По крайней мере, у меня.

Экспонента

Для тех, кто не знает, экспонента — это функция:

$f\left( x\right)=e^x$

И она, пожалуй, вызывает куда больший интерес, чем само число е. Хотя бы потому, что производная от этой функции равна самой этой функции.

$\left( e^x\right)^\prime=e^x$

А если еще вспомнить, что интегрирование — это обратный процесс к дифференцированию, не нужно иметь семь пядей во лбу, чтоб догадаться, что интеграл от e^x так же будет равен e^x.

$\int e^x\, dx= e^x+C$

Но не будем сильно углубляться в математику, а чтобы понять как этим всем пользоваться, ответим на несколько простых вопросов:

Что если мы вкладываем не один рубль, а два?

Число е показывает максимально возможное значение роста единичного вклада при непрерывной капитализации. То есть, если перевести на человеческий язык, с одного рубля при 100% годовых максимум за год набежит е рублей. Если изначальный вклад будет в двое больше, то максимум который мы можем получить через год тоже будет вдвое больше. 2е. Ну или 1000е если положить 1000 рублей.

$N=N_0e$

$N_0$ — то что было.

$N$ — то что будет.

Что будет через 2-3 года?

Здесь тоже нет ничего сложного, эти 2-3 года уйдут в степень над числом $е$ (t — время).

$N = e^t$

Мы говорили, что $e$ набегает у нас с единичного вклада, соответственно, в начале следующего года у нас на счету уже $e$ рублей. Соответственно, вклад в начале второго года у нас уже не единичный. А как мы считаем рост, если вклад не единичный? Умножаем $e$ на величину этого вклада. То есть на $e$ . В конце второго года у нас на счету $e\cdot e$ или $e^2$ рублей, через 3 года $e^3$ … И так далее.

Ну, а если мы имеем дело не со 100%, а скажем 10%?

Проценты в виде постоянной роста ( $r$ ) также идут в степень. $e^1$ при 100% соответственно, $e^{0{,}1}$ при 10%.

$N = e^r$

Почему так происходит? Если не углубляться в математику, то можно сказать, что рост за год при 10% годовых будет такой же, как при 100% годовых за $\frac{1}{10}$ года. Ну а время у нас уходит в степень.

Все сказанное можно обобщить и представить в виде формулы:

$N=N_0e^{rt}$

Причем использовать эту формулу вы можете не только в области финансов. С ее помощью можно спрогнозировать рост населения в нашей необъятной Родине, рассчитать сколько радиоактивного радия останется в Вашем шкафу через год, если предварительно положить туда 10 грамм. Даже можно с легкостью определить когда от этого радия останется ровно половина.

Закон радиоактивного распада

По поводу десяти грамм радия в шкафу я конечно пошутил, но, так или иначе, закон радиоактивного распада можно представить в виде следующего уравнения:

$N=N_0 e^{-\lambda t}$

или

$m=m_0 e^{-\lambda t}$

Если решите считать радиоактивные атомы не в штуках, а в привычных килограммах и граммах.

Где $m_0$ — изначальная масса радиоактивного вещества, $m$ — то что останется спустя время $t$ . На, а $\lambda$ — это постоянная распада (статистическая вероятность распада атома за единицу времени). Обратите внимание на минус в степени над числом $e$ . Минус будет говорить нам о том что количество радиоактивного вещества будет убывать.

Хотя чаще всего в учебниках вы можете встретить другое уравнение:

$N=N_0 2^{-\frac{t}{T}}$

Здесь $T$ — это так называемый период полураспада, время за которое распадается половина радиоактивного вещества.

Половина это когда $\frac{N_0}{N}=2$ . А если вспомнить что такое натуральный логарифм ( $ln$ ) и зачем он нам нужен, то можно из первого уравнения выразить период полураспада через радиоактивную постоянную:

$T=\frac{\ln\left( 2\right)}{\lambda}$

В общем можете вооружиться ручкой, бумагой и на досуге из этого:

$N=N_0 e^{-\lambda t}$

получить это:

$N=N_0 2^{-\frac{t}{T}}$

Ну а если из всего сказанного вы не поняли ровным счетом ничего. И как говорил Виктор Степанович Черномырдин: «Всё это так прямолинейно и перпендикулярно, что мне неприятно». Не расстраивайтесь, по крайней мере, теперь Вы знаете как легко запомнить в каком году родился Лев Николаевич Толстой.