КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Колебания

Механические колебания — периодически повторяющиеся изменения положения тела (материальной точки) относительно положения равновесия.

Амплитуда $(A)$ — максимальное отклонение тела от положения равновесия.

Период $(T)$ — время за которое совершается одно полное колебание. Единица измерения секунда (с).

Частота $(\nu)$ — количество колебаний $(N)$ в единицу времени $(t)$ . Измеряется частота в герцах (Гц) показывающих количество колебаний за секунду. К примеру величина 50 Гц говорит нам о том, что система за одну секунду совершила 50 колебаний.

$\nu=\frac{N}{t}$

Так как период это время за которое совершается одно полное колебание, можно выразить частоту следующим образом:

$\nu=\frac{1}{T}$

Гармонические колебания — колебания происходящие по законам синуса или косинуса (гармоническому закону).

Колебания

$x(t)=A \cos{(\omega t + \varphi_0)}$

Фаза колебания ( $\omega t + \varphi_0$ ) — аргумент периодической функции, описывающей колебательный или волновой процесс.

Начальная фаза колебания $\varphi_0$ — значение фазы колебаний в начальный момент времени, т.е. при t = 0.

Циклическая частота $\omega$ — скалярная физическая величина, мера частоты вращательного или колебательного движения. Единица измерения радиан в секунду (рад/с).

$\omega=\frac{2\pi}{T}$

$\omega=2\pi \nu$

Исходя из этого можно записать

$x(t)=A \cos{(\frac{2\pi t}{T} + \varphi_0)}$

$x(t)=A \cos{(2\pi \nu t + \varphi_0)}$

Свободные колебания — колебания возникающие за счет внутренних сил системы, после того как она была выведена из состояния равновесия.

Собственные частота колебаний — частота свободных колебаний колебательной системы.

Затухающие колебания — колебания в которых происходит постепенное уменьшение амплитуды в результате действия сил сопротивления движению (силы трения, силы сопротивления воздуха..).

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющейся сил.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды колебания при совпадении собственной частоты колебательной системы, с частотой вынуждающей силы.

Математический маятник

Математический маятник — механическая колебательная система представляющая из себя материальную точку подвешенную на нерастяжимой невесомой нити в поле силы тяжести.
Формула Гюгенса для определения периода колебаний математического маятника. l — длинна маятника.

$T=2\pi\ \sqrt{\frac{l}{g}}$

Циклическая частота колебаний математического маятника.

$\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$

Пружинный маятник

Пружинный маятник — механическая колебательная система представляющая из себя пружину жесткостью $k$ , с материальной точкой массой $m$ на одном конце этой пружины.

$T=2\pi\ \sqrt{\frac{m}{k}}$

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Колебательный контур

Электромагнитные колебания — периодические изменения напряжённости и магнитной индукции.
Колебательный контур — электрическая цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$ . В этой цепи происходят свободные электромагнитные колебания.
Циклическая частота и период собственных колебаний контура определяются по формуле Томсона:

$T=2\pi\ \sqrt{LC}$

$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Связь между амплитудными (максимальными) значениями тока в контуре и заряда на конденсаторе:

$I_{max}=\omega q_{max}$

Энергия контура:

$W=\frac{q^2}{2C}+\frac{LI^2}{2}=\frac{q^2_{max}}{2C}=\frac{LI^2_{max}}{2}$

Связь между амплитудными (максимальными) значениями тока и напряжения в контуре (закон сохранения энергии в колебательном контуре):

$\frac{LI^2_{max}}{2}=\frac{CU^2_{max}}{2}$

Переменный ток

Переменный ток — электрический ток периодически меняющий свое направление.
Действующее значение силы переменного тока $I_d$ равно силе постоянного тока, выделяющего в проводнике то же количество теплоты, что и переменный ток за то же время.

$I_d=\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$

Действующее значение напряжения $U_d$ в цепи переменного тока равно напряжению постоянного тока, выделяющего в проводнике то же количество теплоты, что и переменный ток за то же время.

$U_d=\frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$

Средняя по времени тепловая мощность переменного тока:

$P=\frac{U_{max}I_{max}}{2}=I_d^2 R=\frac{U_d^2}{R}$

Емкостное сопротивление $X_C$ — сопротивление конденсатора в цепи переменного тока. Емкостное сопротивление зависит от частоты переменного тока, чем частота выше, тем сопротивление ниже. Для постоянного тока конденсатор по сути представляет разрыв цепи, по этому для постоянного тока емкостное сопротивление стремиться к бесконечности.

$X_C=\frac{1}{\omega C}$

Где $\omega$ циклическая частота переменного тока.
Закон Ома для участков цепи, содержащих емкость:

$I=\frac{U}{X_C}$

Индуктивное сопротивление $X_L$ — сопротивление катушки индуктивности в цепи переменного тока. Так как изменение тока в цепи приводит к появлению токов самоиндукции противодействующих этому изменению, то увеличение частоты переменного тока приводит к увеличению индукционного сопротивления.

$X_L=\omega L$

Закон Ома для участков цепи, содержащих индуктивность:

$I=\frac{U}{X_L}$

Трансформатор

Трансформатор — электромагнитное устройство, которое используется для передачи и преобразования электрической энергии из одной катушки индуктивности на сердечнике в другую. Частота переменного тока при этом не меняется.
Идеальный трансформатор — трансформатор в котором энергетические потери пренебрежимо малы.
Отношение напряжений на вторичной $U_2$ и первичной $U_1$ обмотках идеального трансформатора равно отношению количеств их витков. ( $N_2$ на вторичной и $N_1$ первичной). Само это соотношение называют коэффициентом трансформации $k$ .

$\frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N_2}=k$

Если коэффициент трансформации больше единицы, то трансформатор называется понижающим, если меньше, то повышающим.
Закон сохранения энергии для идеального трансформатора:

$U_1I_1=U_2I_2$

КПД неидеального трансформатора:

$\eta=\frac{U_2I_2}{U_1I_1}$

Волны

Волны — колебания распространяющийся в упругих средах. Если направление распространения волн и направление колеблющихся частиц среды совпадают то такие волны называются продольными. А если эти направления перпендикулярны друг другу, то такие волны называют поперечными.
Так как волновые процессы являются часным случаем колебательного движения, они так же будут характеризоваться своими частотой и периодом. Но помимо этого у волн есть еще свои дополнительные характеристики, отличающие их от обычного колебательного движения.
Длина волны $(\lambda)$ — расстояние, на которое успевает распространиться волна за один период;
Скорость распространения волны $(\upsilon)$ — отношение длинны волны к периоду ее колебания.