Что такое дискриминант и как найти корни квадратного уравнения?

Квадратное уравнение и его корни

Как найти корни квадратного уравнения? Если уравнение неполное, то все предельно просто.

Если же уравнение полное, то нам понадобиться найти дискриминант D, и подставить его в соответствующую формулу для нахождения корней.

$ax^2+bx+c=0$

$D = b^2-4ac$

Если дискриминант больше нуля у нашего уравнения будет два корня:

$x_{1,2} = \frac { -b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Если дискриминант равен нулю корень всего один:

$x = \frac { -b }{2a}$

Если же дискриминант меньше нуля, то корней нет.

Но кто из вас знает откуда взялись все эти формулы, и что вообще такое этот ваш дискриминант?

Кстати дискриминация и дискриминант — слова однокоренные, и пошли они от латинского discriminare что означает «разделять» или «различать».

Давайте представим, что про дискриминант мы знаем только это, и попробуем обойтись без этих математических полуфабрикатов.

Итак, у нас есть квадратное уравнение вида:

$ax^2+bx+c=0$

Надо найти корни! Что делать?

Квадрат суммы

Вспоминаем что есть такая замечательная вещь как квадрат суммы.

$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$

Что если нам наше уравнение довести до такого состояния, и завернуть потом в скобочки с двоечкой сверху? Или по нашему, по простому выведем полный квадрат из квадратного трехчлена.

Для начала избавляемся от $a$ перед $x^2$ . Для этого левую и правую часть уравнения делим на $a$ . Получаем:

$x^2+ \frac {b}{a}x+ \frac {c}{a}=0$

Уже более похоже на:

$x^2 + 2xy + y^2$

По крайней мере и там и там есть $x^2$ , и $x$ без квадрата тоже имеется. Но в одном случае у нас перед $x$ стоит $2y$ , а во втором $\frac {b}{a}$ . Будем считать что:

$2y=\frac {b}{a}$

А чему в таком случае равен $y^2$ ? Правильно!

$y^2= \left ( \frac {b}{2a} \right)^2$

Чтоб можно было все свернуть, у нас должно получиться как-то так

$x^2+ \frac {b}{a}x+\left ( \frac {b}{2a} \right)^2=\left (x+ \frac {b}{2a} \right)^2$

Проблема в том, что в нашем изначальном уравнении нет $\left ( \frac {b}{2a} \right)^2$ .

Здесь все просто. Помню как-то на день рождения жены выделил ей 4000 рублей на новое платье, а так как буквально через неделю день рождения был уже у меня… В общем она на эти 4000 купила мне электролобзик. Поступим точно так же. Прибавим $y^2$ и потом отнимем $y^2$ , а точнее $\left ( \frac {b}{2a} \right)^2$ .

$x^2+ \frac {b}{a}x+\left ( \frac {b}{2a} \right)^2 -\left ( \frac {b}{2a} \right)^2 + \frac {c}{a}=0$

Получается вот такая замечательная колбаса из которой уже можно выделить полный квадрат.

$\left (x+ \frac {b}{2a} \right)^2 -\left ( \frac {b}{2a} \right)^2 + \frac {c}{a}=0$

Находим корни

Давайте все лишнее скомпонуем и перенесем вправо.

$\left (x+ \frac {b}{2a} \right)^2=\frac {b^2-4ac}{4a^2}$

Теперь можно избавится от квадрата в левой части уравнения. Для этого извлекаем корни. Но! Не забываем, что значение в скобках может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому перед корнем справа напишем $\pm$ .

$x+ \frac {b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

И последний штрих выражаем икс или иксы.

$x_{1,2} = \frac { -b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Дискриминант

Так как мы поставили $\pm$ то значения у икса может быть два, а может быть и один, а может и вообще не будет. Все зависит от того подкоренного безобразия. У нас и слово ругательное для него имеется – дискриминант. Обозначим его буквой $D$ .

$ax^2+bx+c=0$

$D = b^2-4ac$

Дискриминант будет разделять нам квадратные уравнения на три вида. С двумя корнями, с одним и без корней. Вы же помните, что discriminare что означает «разделять». Тут все просто. Если дискриминант больше нуля, корня будет два.

$x_{1,2} = \frac { -b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Если равен нулю то один.

$x = \frac { -b }{2a}$

Ну а если меньше нуля, корней нет. Нет же корней из отрицательных чисел? Или есть?…