Почему синус малого угла равен самому углу?

Итак! Синус малого угла. Здесь вспоминается старый армейский анекдот:

— Синус малого угла примерно равен самому углу. Например, синус трёх градусов равен трём.
— Товарищ майор, синус не может быть больше единицы!
— Это военный синус.

Армейский анекдот

Да, действительно, при малых углах их синус примерно равен углу. Причем, синус как «военный», так и обычный гражданский. Но стоит оговориться, угол этот будет измеряться в радианах, а не в градусах. И по этому синус трех градусов никак не может быть равен трем. Н давайте для начала вспомним, что вообще такое эти ваши радианы.

Что такое радианы?

Радиан
— это центральный угол окружности, опирающийся на дугу с длиной, равной радиусу этой окружности.

Один радиан

Что это значит? Все просто, если мы возьмем длину дуги и поделим на радиус, то получим наш угол в радианах. Другими словами, радианы показывают количество радиусов которые помещаются в дугу окружности на который опирается угол.

Если длинна дуги равна радиусу, то радиус разделить на радиус получаем один радиан. Если длина дуги равна двум радиусам, то угол будет равен двум радианам…

Если мы длину окружности, поделим на радиус, мы получим количество радиан в этой окружности. Или, другими словами, переведем угол 360o в радианы. Так как длинна окружности определяется как 2πR. Разделив все это на радиус, мы получим 2π или примерно 6.28 радиан.

    \[360^\circ =\frac {2\pi R }{R}=2\pi \approx 6,28 rad\]

Не трудно посчитать, что 1 радиан будет равен примерно 57.3o

Если угол в три градуса выразить в радианах, мы получим примерно 0.0523598776. Давайте найдем синус 3o и сравним.

Синус малого угла 3 градуса

Как видим, они действительно примерно равны, с небольшими расхождениями. Причем, чем меньше будет угол, тем меньше будут эти расхождения. Давайте разбираться почему.

Что такое синус и почему он равен малому углу

Синус угла определяется отношением противолежащего катета треугольника к его гипотенузе. Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник в окружности, то гипотенузой будет являться радиус этой окружности. Ну а угол в радианах, как мы говорили, это отношение длины дуги окружности, на которую опирается угол к радиусу.

И теперь смотрите, чем меньше угол, тем меньше разница между длиной дуги и катетом нашего треугольника. А при малых углах они практически равны. Что синус, что угол мы определяем делением на радиус. В первом случае мы на радиус делим катет, а во втором — дугу. Если они у нас примерно равны, то, соответственно, синус малого угла становится примерно равным самому углу. Но повторюсь, наш угол будет в радианной мере.

Почему синус малого угла равен самому углу

Добавить комментарий