Число е, экспонента и экспоненциальный рост

Как легко запомнить год рождения Льва Толстого? Вспоминаем число е, точнее первые его десять цифр 2,718281828… Там год его рождения повторяется дважды. 1828 1828. Видимо, специально, чтобы каждый знал, когда родился Великий русский писатель!

Ну а если вы вдруг позабыли, чему равны углы в прямоугольном равнобедренном треугольнике, не проблема. Сразу после дважды Толстого в числе е идет 459045.

Для забывчивых юристов далее спрятался номер статьи из ук Рф «Незаконное осуществление медицинской деятельности или фармацевтической деятельности», в общем, 235 статья.

Сколько градусов в окружности? Смотрим после 235 статьи и видим 360.

Так можно продолжать до бесконечности. Почему? Потому что число е, как и число Пи, иррациональное. Бесконечная, не периодическая, десятичная дробь. Так что в числе е есть не только год рождения Толстого, но и день месяц, и вся война и мир в цифровом виде.

Два миллиона цифр после запятой в числе e. Для оооооооооооооооооочень точных вычислений!!

Что же такое число е и откуда оно взялось?

Кто-то спросит: «Что же это за число такое удивительное?» И здесь всего три слова: “второй замечательный предел”. На языке математики это выглядит следующим образом:

$e=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$

Расходимся…

Появление числа е связывают с Якобом Бернулли, который еще в 17 веке задался вопросом: какова же максимальная величина процентного дохода при постоянной капитализации вклада?

Якоб Бернулли Число е — Якоб Бернулли (1654-1705)

Чтобы было понятно о чем идет речь, давайте представим, что у меня есть рубль. Я кладу его в банк под 100% годовых. То есть, через год у меня уже не рубль, а два.

$1+1=2$

Но что если рост происходит не мгновенно в конце года, а частями? Ну скажем, каждые полгода по 50%. Да, наш рубль так же превратится в два, но на 50 копеек, которые набежали за первые полгода, за вторую половину года набежит уже свой процент. И мы получим еще 25 копеек дополнительно. И в итоге мы имеем уже 2 рубля 25 копеек.

$1+\frac{1}{2}+\frac{ 1+\frac{1}{2}}{2}=\left( 1+\frac{1}{2} \right)\cdot\left( 1+\frac{1}{2} \right)=\left( 1+\frac{1}{2} \right)^2=2{,}25$

Если рост вклада будет происходить каждые четыре месяца, то есть 3 раза в год, дополнительный процент к нашим двум рублям, составит уже 37 копеек.

$\left( 1+\frac{1}{3} \right)^3\approx 2{,}37$

При ежемесячном росте только на процентах у нас набежит примерно 61 копейка.

$\left( 1+\frac{1}{12} \right)^12\approx 2{,}613$

И здесь возникает вопрос: а что если рост будет происходить непрерывно? Как в природе. К примеру, дети не вырастают на 15 сантиметров в свой день рождения. Нет. Они растут в течении всего года. Каждый день, каждый час, каждую секунду… Что если так же будет расти наш вклад, и вместе с ним будут увеличиваться начисления по проценту?

Существует ли какой то предел при непрерывном росте, который позволит понять, на какую максимальную прибыль мы можем рассчитывать?

$\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=???$

Сам Бернулли определил, что это где-то между 2,5 и 3.

Леонард Эйлер (15 апреля 1707 – 18 сентября 1783) — Леонард Эйлер (1707 – 1783)

Более точно этот предел вычислил Леонард Эйлер, а полученное число, к которому этот предел стремится, назвал числом е.

По одной из версий е — это первая буква в фамилии ученого (Euler). Но это не точно. Вполне возможно, что е это просто первая буква в слове«экспоненциальный» (exponential). Что тоже кажется тоже вполне разумным, так как экспонента, наверно, первая ассоциация при упоминании числа е. По крайней мере, у меня.

Экспонента и экспоненциальный рост

Для тех, кто не знает, экспонента — это функция:

$f\left( x\right)=e^x$

И она, пожалуй, вызывает куда больший интерес, чем само число е. Хотя бы потому, что производная от этой функции равна самой этой функции.

$\left( e^x\right)^\prime=e^x$

А если еще вспомнить, что интегрирование — это обратный процесс к дифференцированию, не нужно иметь семь пядей во лбу, чтоб догадаться, что интеграл от e^x так же будет равен e^x.

$\int e^x\, dx= e^x+C$

Но не будем сильно углубляться в математику, а чтобы понять как этим всем пользоваться, ответим на несколько простых вопросов:

Что если мы вкладываем не один рубль, а два?

Число е показывает максимально возможное значение роста единичного вклада при непрерывной капитализации. То есть, если перевести на человеческий язык, с одного рубля при 100% годовых максимум за год набежит е рублей. Если изначальный вклад будет в двое больше, то максимум который мы можем получить через год тоже будет вдвое больше. 2е. Ну или 1000е если положить 1000 рублей.

$N=N_0e$

$N_0$ — то что было.

$N$ — то что будет.

Что будет через 2-3 года?

Здесь тоже нет ничего сложного, эти 2-3 года уйдут в степень над числом $е$ (t — время).

$N = e^t$

Мы говорили, что $e$ набегает у нас с единичного вклада, соответственно, в начале следующего года у нас на счету уже $e$ рублей. Соответственно, вклад в начале второго года у нас уже не единичный. А как мы считаем рост, если вклад не единичный? Умножаем $e$ на величину этого вклада. То есть на $e$ . В конце второго года у нас на счету $e\cdot e$ или $e^2$ рублей, через 3 года $e^3$ … И так далее.

Ну, а если мы имеем дело не со 100%, а скажем 10%?

Проценты в виде постоянной роста ( $r$ ) также идут в степень. $e^1$ при 100% соответственно, $e^{0{,}1}$ при 10%.

$N = e^r$

Почему так происходит? Если не углубляться в математику, то можно сказать, что рост за год при 10% годовых будет такой же, как при 100% годовых за $\frac{1}{10}$ года. Ну а время у нас уходит в степень.

Все сказанное можно обобщить и представить в виде формулы:

$N=N_0e^{rt}$

Причем использовать эту формулу вы можете не только в области финансов. С ее помощью можно спрогнозировать рост населения в нашей необъятной Родине, рассчитать сколько радиоактивного радия останется в Вашем шкафу через год, если предварительно положить туда 10 грамм. Даже можно с легкостью определить когда от этого радия останется ровно половина.

Закон радиоактивного распада

По поводу десяти грамм радия в шкафу я конечно пошутил, но, так или иначе, закон радиоактивного распада можно представить в виде следующего уравнения:

$N=N_0 e^{-\lambda t}$

или

$m=m_0 e^{-\lambda t}$

Если решите считать радиоактивные атомы не в штуках, а в привычных килограммах и граммах.

Где $m_0$ — изначальная масса радиоактивного вещества, $m$ — то что останется спустя время $t$ . На, а $\lambda$ — это постоянная распада (статистическая вероятность распада атома за единицу времени). Обратите внимание на минус в степени над числом $e$ . Минус будет говорить нам о том что количество радиоактивного вещества будет убывать.

Хотя чаще всего в учебниках вы можете встретить другое уравнение:

$N=N_0 2^{-\frac{t}{T}}$

Здесь $T$ — это так называемый период полураспада, время за которое распадается половина радиоактивного вещества.

Половина это когда $\frac{N_0}{N}=2$ . А если вспомнить что такое натуральный логарифм ( $ln$ ) и зачем он нам нужен, то можно из первого уравнения выразить период полураспада через радиоактивную постоянную:

$T=\frac{\ln\left( 2\right)}{\lambda}$

В общем можете вооружиться ручкой, бумагой и на досуге из этого:

$N=N_0 e^{-\lambda t}$

получить это:

$N=N_0 2^{-\frac{t}{T}}$

Ну а если из всего сказанного вы не поняли ровным счетом ничего. И как говорил Виктор Степанович Черномырдин: «Всё это так прямолинейно и перпендикулярно, что мне неприятно». Не расстраивайтесь, по крайней мере, теперь Вы знаете как легко запомнить в каком году родился Лев Николаевич Толстой.