Число е (число Эйлера)

Число е

Как легко запомнить год рождения Льва Толстого? Вспоминаем первые десять цифр числа е = 2,718281828… Там год его рождения повторяется дважды. 1828 1828. Видимо, специально, чтобы каждый знал, когда родился Великий русский писатель!

Ну а если вы вдруг позабыли, чему равны углы в прямоугольном равнобедренном треугольнике, не проблема. Сразу после дважды Толстого в числе е идет 459045.

Для забывчивых юристов далее спрятался номер статьи из ук Рф «Незаконное осуществление медицинской деятельности или фармацевтической деятельности», в общем, 235 статья.

Сколько градусов в окружности? Смотрим после 235 статьи и видим 360.

Так можно продолжать до бесконечности. Почему? Потому что число е, как и число Пи, иррациональное. Бесконечная, не периодическая, десятичная дробь. Так что в числе е есть не только год рождения Толстого, но и день месяц, и вся война и мир в цифровом виде.

Что же такое число е и откуда оно взялось?

Кто-то спросит: «Что же это за число такое удивительное?» И здесь всего три слова: “второй замечательный предел”. На языке математики это выглядит следующим образом:

    \[e=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\]

Расходимся…

Появление числа е связывают с Якобом Бернулли, который еще в 17 веке задался вопросом: какова же максимальная величина процентного дохода при постоянной капитализации вклада?

Чтобы было понятно о чем идет речь, давайте представим, что у меня есть рубль. Я кладу его в банк под 100% годовых. То есть, через год у меня уже не рубль, а два.

    \[1+1=2\]

Но что если рост происходит не мгновенно в конце года, а частями? Ну скажем, каждые полгода по 50%. Да, наш рубль так же превратится в два, но на 50 копеек, которые набежали за первые полгода, за вторую половину года набежит уже свой процент. И мы получим еще 25 копеек дополнительно. И в итоге мы имеем уже 2 рубля 25 копеек.

    \[1+\frac{1}{2}+\frac{ 1+\frac{1}{2}}{2}=\left( 1+\frac{1}{2} \right)\cdot\left( 1+\frac{1}{2} \right)=\left( 1+\frac{1}{2} \right)^2=2{,}25\]

Если рост вклада будет происходить каждые четыре месяца, то есть 3 раза в год, дополнительный процент к нашим двум рублям, составит уже 37 копеек.

    \[\left( 1+\frac{1}{3} \right)^3\approx 2{,}37\]

При ежемесячном росте только на процентах у нас набежит примерно 61 копейка.

    \[\left( 1+\frac{1}{12} \right)^12\approx 2{,}613\]

И здесь возникает вопрос: а что если рост будет происходить непрерывно? Как в природе. К примеру, дети не вырастают на 15 сантиметров в свой день рождения. Нет. Они растут в течении всего года. Каждый день, каждый час, каждую секунду… Что если так же будет расти наш вклад, и вместе с ним будут увеличиваться начисления по проценту?

Существует ли какой то предел при непрерывном росте, который позволит понять, на какую максимальную прибыль мы можем рассчитывать?

    \[\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=???\]

Сам Бернулли определил, что это где-то между 2,5 и 3.

Более точно этот предел вычислил Леонард Эйлер, а полученное число, к которому этот предел стремится, назвал числом е.

По одной из версий е — это первая буква в фамилии ученого (Euler). Но это не точно. Вполне возможно, что е это просто первая буква в слове«экспоненциальный» (exponential). Что тоже кажется тоже вполне разумным, так как экспонента, наверно, первая ассоциация при упоминании числа е. По крайней мере, у меня.

Экспонента

Для тех, кто не знает, экспонента — это функция:

    \[f\left( x\right)=e^x\]

И она, пожалуй, вызывает куда больший интерес, чем само число е. Хотя бы потому, что производная от этой функции равна самой этой функции.

    \[\left( e^x\right)^\prime=e^x\]

А если еще вспомнить, что интегрирование — это обратный процесс к дифференцированию, не нужно иметь семь пядей во лбу, чтоб догадаться, что интеграл от e^x так же будет равен e^x.

    \[\int e^x\, dx= e^x+C\]

Но не будем сильно углубляться в математику, а чтобы понять как этим всем пользоваться, ответим на несколько простых вопросов:

Что если мы вкладываем не один рубль, а два?

Число е показывает максимально возможное значение роста единичного вклада при непрерывной капитализации. То есть, если перевести на человеческий язык, с одного рубля при 100% годовых максимум за год набежит е рублей. Если изначальный вклад будет в двое больше, то максимум который мы можем получить через год тоже будет вдвое больше. 2е. Ну или 1000е если положить 1000 рублей.

    \[N=N_0e\]

N_0 — то что было.

N — то что будет.

Что будет через 2-3 года?

Здесь тоже нет ничего сложного, эти 2-3 года уйдут в степень над числом е (t — время).

    \[N = e^t\]

Мы говорили, что e набегает у нас с единичного вклада, соответственно, в начале следующего года у нас на счету уже e рублей. Соответственно, вклад в начале второго года у нас уже не единичный. А как мы считаем рост, если вклад не единичный? Умножаем e на величину этого вклада. То есть на e. В конце второго года у нас на счету e\cdot e или e^2 рублей, через 3 года e^3… И так далее.

Ну, а если мы имеем дело не со 100%, а скажем 10%?

Проценты в виде постоянной роста (r) также идут в степень. e^1 при 100% соответственно, e^{0{,}1} при 10%.

    \[N = e^r\]

Почему так происходит? Если не углубляться в математику, то можно сказать, что рост за год при 10% годовых будет такой же, как при 100% годовых за \frac{1}{10} года. Ну а время у нас уходит в степень.

Все сказанное можно обобщить и представить в виде формулы:

    \[N=N_0e^{rt}\]

Причем использовать эту формулу вы можете не только в области финансов. С ее помощью можно спрогнозировать рост населения в нашей необъятной Родине, рассчитать сколько радиоактивного радия останется в Вашем шкафу через год, если предварительно положить туда 10 грамм. Даже можно с легкостью определить когда от этого радия останется ровно половина.

Закон радиоактивного распада

По поводу десяти грамм радия в шкафу я конечно пошутил, но, так или иначе, закон радиоактивного распада можно представить в виде следующего уравнения:

    \[N=N_0 e^{-\lambda t}\]

или

    \[m=m_0 e^{-\lambda t}\]

Если решите считать радиоактивные атомы не в штуках, а в привычных килограммах и граммах.

Где m_0 — изначальная масса радиоактивного вещества, m — то что останется спустя время t. На, а \lambda — это постоянная распада (статистическая вероятность распада атома за единицу времени). Обратите внимание на минус в степени над числом e. Минус будет говорить нам о том что количество радиоактивного вещества будет убывать.

Хотя чаще всего в учебниках вы можете встретить другое уравнение:

    \[N=N_0 2^{-\frac{t}{T}}\]

Здесь T — это так называемый период полураспада, время за которое распадается половина радиоактивного вещества.

Половина это когда \frac{N_0}{N}=2. А если вспомнить что такое натуральный логарифм (ln) и зачем он нам нужен, то можно из первого уравнения выразить период полураспада через радиоактивную постоянную:

    \[T=\frac{\ln\left( 2\right)}{\lambda}\]

В общем можете вооружиться ручкой, бумагой и на досуге из этого:

    \[N=N_0 e^{-\lambda t}\]

получить это:

    \[N=N_0 2^{-\frac{t}{T}}\]

Ну а если из всего сказанного вы не поняли ровным счетом ничего. И как говорил Виктор Степанович Черномырдин: «Всё это так прямолинейно и перпендикулярно, что мне неприятно». Не расстраивайтесь, по крайней мере, теперь Вы знаете как легко запомнить в каком году родился Лев Николаевич Толстой.

Добавить комментарий