Как найти объем шара? Вывод формулы объема шара.

Как найти объем шара? Давайте рассмотрим этот вопрос с точки зрения математиков, физиков и инженеров. Для примера возьмем этот маленький красненький шарик. Как найти объем шара?

Математический подход

Думаю, первым что всплывёт в памяти математика, при словосочетании “объем шара”, будет эта формула:

$V=\frac {4}{3} \pi R^3$

Ну а если вы вдруг не всплывёт, то её всегда можно вывести через интеграл:

Проводим ось ОХ через центр шара.
Площадь произвольного сечения на расстоянии $x$ от центра шара можно выразить как:

$S(x)=\pi (R^2-x^2)$

Если проинтегрировать эту функцию на промежутке от $-R$ до $R$ мы получим объем шара.

$V=\int\limits_{-R}^{R} S(x)\,dx =\int\limits_{-R}^{R} \pi (R^2-x^2)\,dx =$

$= \pi \int\limits_{-R}^{R} R^2 \,dx - \pi \int\limits_{-R}^{R} x^2 \,dx = \pi R^2 x \Bigr|_{-R}^{R} - \frac {\pi x^3}{3} \Bigr|_{-R}^{R} =$

$= \pi R^3 +\pi R^3 - \frac {\pi R^3}{3} - \frac {\pi R^3}{3} = \frac {4}{3} \pi R^3$

Единственное, на практике выражать объем через радиус будет не всегда удобно. Радиус трудно измерить напрямую. Куда проще штангенциркулем измерить диаметр. Поэтому чтоб лишний раз не упражняться в делении на два, можно представить объем шара сразу через его диаметр:

$V=\frac {1}{6} \pi D^3$

Физический подход

Если измерение диаметра представляется чем-то затруднительным, а штангенциркуль, в вашем представлении, это что-то связанное с тяжелой атлетикой, то возможно, физический способ придется вам по душе.

Все предельно просто. Погружаем шар в воду, и смотрим как изменится ее уровень. Соответственно объем шара будет равен объему вытесненной им воды.

Стоит отметить, что этот метод подарил нам Архимед, более двух тысяч лет назад, и подходит он для измерения объема не только шаров, но и любых других фигур. Главное, чтоб их можно было мочить воде.

Легенда об Архимеде

Согласно легенде, по приказу царя Гиерона, правителя Саракуз была изготовлена золотая корона, которую он хотел пожертвовать в храм. Но поступил донос, что корона не из чистого золота, и в нее подмешано серебро. Соответственно часть золота была украдена.

Разобраться так ли это на самом деле царь поручил Архимеду, а тот, в свою очередь, думая над этой задачей, отправился прямиком в баню. Там, залезая в ванну, он обратил внимание что при погружении его тела в воду ее уровень поднимается. Поняв, что делать, Архимед выскочил из этой бани и с криками “эврика” голышом побежал домой.

Погрузив в воду корону, Архимед определил её объём. Затем тем же методом он определил объемы золотого и серебренного слитков, имеющих ту же массу что и эта корона. Ну а из соотношений объемов он выяснил, что корона действительно содержала примеси серебра.

Инженерный подход

Ну и наконец, как находят объем маленьких красных шариков настоящие инженеры? Здесь на самом деле все еще проще чем у физиков. Берем соответствующую техническую документацию, и смотрим объем там.