Черноуцан 4.109 С высоты 1.8 м вертикально вниз с начальной скор...

Черноуцан 4.109

С высоты 1.8 м вертикально вниз с начальной скоростью 8 м/с бросают мяч. После двух ударов о землю мяч поднялся до первоначальной высоты. Сколько процентов энергии теряется при каждом ударе? Сопротивлением воздуха пренебречь g=10м/с²

Задача взята из сборника Черноуцан А.И. «Физика. Задачи с ответами и решениями».

Решение

Итак первое с чего начнем, давайте найдем общие потери энергии после двух ударов.
Обозначим изначальную полную энергию как Е. Она будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий мяча в момент броска.

$E =\frac{mv^2} {2}+ mgh$

Так как после второго удара мяч поднимется на высоту с которой его бросили, то конечная энергия мяча будет равна $mgh$

$E^\prime = mgh$

Запишем закон сохранения энергии. Слева у нас полная энергия мяча в момент броска, а справа потенциальная энергия на высоте высоте $h$ . Куда этот мяч вернулся после двух ударов о землю. Плюс потери энергии $\Delta E$ .

$E=E^\prime + \Delta E$

$\frac{mv^2} {2}+ mgh = mgh+ \Delta E$

Из уравнения видно что эти потери будут равны изначальной кинетической энергии мяча.

$\Delta E=\frac{mv^2} {2}$

Давайте найдем общий коэффициент потерь. Для этого разделим потери энергии на изначальную полную энергию.

$\frac{\Delta E} {E}=\frac{mv^2} {2(\frac{mv^2} {2}+ mgh)}$

Раскроем скобки и сократим массу мяча.

$\frac{\Delta E} {E}=\frac{v^2} {v^2+ 2gh}$

Для удобства сделаем промежуточные расчеты

$\frac{\Delta E} {E}=\frac{8^2} {8^2 + 2 \cdot 10 \cdot 1.8}=0.64$

Получилось 0.64 или 64% Но это процент потерь после двух ударов, а нам необходимо найти после каждого.

Давайте обозначим коэффициент потерь после одного удара как $x$ . Тогда получается что после первого удара мы потеряем $xE$ энергии. Соответственно $E-xE$ это та энергия которая осталась. Если умножить всю эту радость на $x$ , мы получим потери после второго удара $x(E-xE)$ . Так как каждый раз мы теряем одинаковый процент энергии. В сумме это будет равно общим потерям после двух ударов, то есть $0.64E$ .

$xE+x(E-xE)=0.64E$

Открываем скобки и сокращаем Е.

$2x-x^2=0.64$

Получаем квадратное уравнение и находим корни.

$x^2-2x+0.64=0$

$x_1=0.4$

$x_2=1.6$

Коэффициент потерь не может превышать единицу. По этому из двух корней нашего уравнения подойдет только первый. $x_1=0.4$ , а значит потери после каждого удара о землю составляли 40 %

Проверь себя

Если хотите чтобы в Вашем доме поселилась любовь и гармония, то рассчитайте на какую высоту поднимется мяч после первого удара. Я правда не уверен что это поможет в любви и гармонии. Но заодно и проверим. Ответы пишите в комментариях.

В общем, желаю вам счастья, удачи и до скорых встреч!!!